Доказательство, которое потрясет теорию чисел

После восьми лет титанических усилий японский математик Синъити Мотидзуки (Shinichi Mochizuki), критикуемый многими экспертами, получил, наконец, некоторое признание. Его 600-страничное доказательство так называемой abc-гипотезы — одной из главных нерешенных проблем теории чисел — было принято к публикации. Принятие работы Мотидзуки к публикации в журнале Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences («Публикации Научно-исследовательского института математических наук», RIMS), — это финальная точка, поставленная в длительной и острой полемике вокруг доказательства, предложенного японским математиком. Этот журнал, главным редактором которого является сам Мотидзуки, издается Научно-исследовательским институтом математических наук (RIMS) при Киотском университете (Япония), где и работает автор.

Два представителя RIMS, математики Масаки Касивара (Masaki Kashiwara) и Акио Тамагава (Akio Tamagawa), выступая на японском языке, объявили об этой публикации на пресс-конференции 3 апреля в Киото. По словам Касивара, эта научная работа «вызовет большой резонанс». На вопрос о том, как сам автор работы — Мотидзуки — воспринял известие о том, что его статья появится в журнале, Касивара ответил: «Думаю, со вздохом облегчения».

Сам же Мотидзуки, который несколько лет отказывался давать интервью, и на этот раз на пресс-конференции не появился. Еще восемь лет назад Мотидзуки опубликовал в интернете четыре статьи большого объема, где заявил, что ему наконец удалось окончательно разобраться с abc-гипотезой. Его статьи озадачили математиков, которые на протяжении долгих лет пытались найти решение этой трудной задачи. Затем, в 2018 году два очень уважаемых математика уверенно заявил, что им удалось найти ошибку в доказательстве Мотидзуки. И многие тогда решили, что по претензиям Мотидзуки был, наконец, нанесен сокрушительный удар.

Недавний анонс публикации статьи Мотидзуки, похоже, вряд ли заставит многих ученых перейти в лагерь его сторонников. «Я думаю, можно с уверенностью сказать, что с 2018 года мнения математического сообщества не претерпели существенных изменений», — заявил Киран Кедлайя (Kiran Kedlaya), специалист по теории чисел из Калифорнийского университета в Сан-Диего. Кедлайя был одним из экспертов, которые потратили немало сил на проверку доказательства Мотидзуки. Другой математик, Эдвард Френкель (Edward Frenkel) из Калифорнийского университета в Беркли, ответил так: «Я не буду судить об этой работе до тех пор, пока ее не опубликуют, ведь в тексте может появиться какая-то новая информация».

Нерешенная задача

Так называемая abc-гипотеза устанавливает фундаментальную связь между сложением и умножением целых чисел. Как известно, любое целое число может быть единственным образом разложено на простые множители, то есть на его «делители», например: 60 = 5×3 x 2×2. Грубо говоря, abc-гипотеза утверждает примерно следующее: если имеется много простых множителей у двух чисел «a» и «b», то их будет не очень много у значения суммы этих чисел — числа «c».

Доказательство abc-гипотезы, в случае его подтверждения, может оказать сильное влияние на всю теорию чисел. Тогда у нас появится новаторский подход, например, к доказательству легендарной теоремы Ферма, сформулированной Пьером де Ферма в 1637 году и доказанной только в 1994 году.

Итак, вся эта история началась 30 августа 2012 года, когда известный специалист в области теории чисел Синъити Мотидзуки опубликовал статью в интернете, — правда, не на arXiv.org, куда математики любят отсылать свои статьи, а на собственной веб-странице в RIMS. Его статьи, написанные малопонятным и своеобразным стилем, казалось, полностью опираются на математические понятия, которые совершенно незнакомы сообществу математиков, — «как будто читаешь статью, присланную из будущего или из далекого космоса», писал Джордан Элленберг (Jordan Ellenberg), специалист по теории чисел из университета Висконсин-Мэдисон, в своем блоге вскоре после появления статей японского ученого.

Мотидзуки отклонил все поступившие из-за границы приглашения о том, чтобы прочитать лекции о своих исследованиях. Несмотря на то, что некоторые из его близких сотрудников заявляли о том, что доказательство Мотидзуки корректное, математики во всем мире пытались (зачастую с долей скепсиса) хоть как-то понять это доказательство, не говоря уж о том, чтобы проверить его. В последующие годы по этой теме проводились конференции, участники которых сообщили даже о частичном понимании доказательства. И все же, по их мнению, потребуется еще много лет, чтобы сделать окончательные выводы. Многие математики, в том числе Герд Фальтингс (Gerd Faltings), который консультировал Мотидзуки по докторской диссертации, открыто раскритиковали японского ученого за то, что он не потрудился дать более ясное представление о своих идеях.

Через некоторое время, 16 декабря 2017 года, японская газета «Асахи» заявила о том, что в скором времени мы все-таки убедимся в правильности доказательства Мотидзуки, и что это достижение можно приравнять к доказательству теоремы Ферма, найденному в 1994 году.

Между тем, ходили слухи, что журнал Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences собирался опубликовать четыре статьи Мотидзуки, однако на тот момент редакторы издания это отрицали. Вскоре спор разгорелся вновь: некоторые математики сетовали, что статьи Мотидзуки, опубликованные в журнале института RIMS, по-прежнему остаются малопонятными.
В декабре 2017 года специалист в области математической физики Питер Войт (Peter Woit) из Колумбийского университета в Нью-Йорке написал в своем блоге, что принятие статьи к публикации в журнале института RIMS создаст ситуацию, которая «не имеет аналогов в истории математики: уважаемый журнал заявит, что он якобы проверил доказательство этой чрезвычайно известной гипотезы, а большинство специалистов в данной области математики тщательно изучали это доказательство и не смогли его понять».

Осторожно, брешь!

Слух о скорой публикации оказался необоснованным. В течение нескольких месяцев ситуация вокруг Мотидзуки стала меняться к худшему. Два немецких математика — Питер Шольце (Peter Scholze) из Боннского университета и Якоб Стикс (Jakob Stix) из Университета Гёте во Франкфурте — в частном порядке распространили опровержение доказательства abc-гипотезы, приведенного Мотиздукой; они сделали акцент на одну из важных частей доказательства, которую сочли ошибочной. Заметим, что Шольце пользуется большим авторитетом среди специалистов по теории чисел; в августе 2018 года он получил высшую награду по математике — Филдсовскую премию.

В сентябре того же года Шольце и Стикс выступили с публичным заявлением: в статье, опубликованной в физико-математическом журнале «Кванта» (Quanta), говорилось, что оба ученых обнаружили некую «серьезную, неустранимую брешь». Журналу «Кванта» Шольце заявил следующее: «Я полагаю, что abc-гипотеза все еще не доказана. У любого остается шанс ее доказать».

Мотидзуки отмахнулся от критики в комментариях на своем сайте, указав, что два вышеупомянутых автора просто не поняли его работы. Однако несколько экспертов сообщили журналу «Нейчер» (Nature) следующее: большая часть математического сообщества считает, что критическое мнение по отношению к его работам закрепилось окончательно.

И официальное принятие статей к публикации вряд ли изменит это положение. «С тех пор, как я вместе с Якобом Стиксом написал ту статью, мое суждение никоим образом не изменилось», — заявил Шольце в интервью «Нейчер». (Стикс в электронном письме отклонил просьбу о комментарии.)

Однако Акио Тамагава на пресс-конференции подтвердил, что, несмотря на критику Шольца и Стикса, решение о публикации в журнале статей Мотидзуки не изменилось. По словам Тамагавы, некоторые комментарии по этому поводу, разумеется, будут также опубликованы, но никаких фундаментальных изменений не произойдет.

По словам Фолкера Мерманна (Volker Mehrmann), президента Европейского математического общества (EMS), которое публикует данный журнал от имени RIMS, если бы редакторы этого журнала «отмахнулись от критики» и опубликовали статью без серьезных изменений, то это негативно сказалось бы и на них, и на самом Мотидзуки. (Как сообщил Мерманн, EMS не осуществляет редакторский контроль над содержанием журнала RIMS; кроме того, сам Мерманн не знал о том, что публикация запланирована, до тех пор, пока не связался с «Нейчер».)

Правда, некий математик, предпочитающий оставаться анонимным, сообщил, что редакторы и рецензенты, работающие над статьями Мотидзуки, могли оказаться в почти патовой ситуации: «Если уж лучшие математики, несмотря на все старания, ничего не могут понять, то что говорить об каком-то одном редакторе!»

Длинный и извилистый путь к признанию

Математики подчас публикуют статьи в тех же журналах, которые и редактируют. По словам математика Хираку Накадзима (Hiraku Nakajima) из Института физики и математики Вселенной им. Кавли в Токио (он в своем время входил в редколлегию изданий RIMS), покуда авторы отказываются от процесса рецензирования, «данный случай не будет рассматриваться как нарушение правил, он будет считаться нормой». Фолкер Мерманн тоже подтверждает, что подобные случаи не будут нарушать принципы EMS.

По словам Касивара, Мотидзуки отказался от участия в процессе рецензирования и не участвовал ни в одном из заседаний редколлегии, обсуждавшей его статью. При этом Касивара заявил, что журнал и ранее публиковал статьи других членов редакции.
Статья Мотидзуки была принята 5-го февраля, но дата публикации еще не определена. «Это очень длинная рукопись. Мы планируем сделать спецвыпуск, поэтому не можем сказать, сколько времени это займет», — сказал Касивара.

В математической науке согласие журнала на публикацию статьи зачастую не является окончанием процесса критического осмысления этой самой статьи. Тот или иной значительный результат превратится в общепринятую теорему только после того, как всё экспертное сообщество математиков достигнет консенсуса в отношении правильности полученного результата. А это может произойти через много лет после официального опубликования статьи.

«И всё же, несмотря на все трудности, с которыми мы будем сталкиваться на протяжении всех этих лет, я все-таки думаю, что было бы здoрово, если б идеи Мотидзуки действительно оказались верны», — резюмирует математик Мин Ён Ким (Minhyong Kim) из Оксфордского университета в Великобритании.