Топология тела: Сколько в нас настоящих «дыр»?

Человеческое тело невероятно сложно: в нем есть несколько входов и немного выходов. Но сколько же на самом деле «дыр» у каждого из нас?

Это кажется простым вопросом, на который можно ответить, перечислив все отверстия и сложив их. Однако все не так просто, как только мы начинаем задаваться вопросами: «Что именно считать дырой?», «Любое ли отверстие подходит?» и «Почему математики не видят разницы между соломинкой и пончиком?»

Прежде чем начать считать, нам нужно договориться, что мы понимаем под «дырой». Кэти Стеклз, преподаватель математики в Манчестерском столичном университете (Великобритания) и популяризатор математики, объяснила Live Science, что математики «используют термин «дыра» для обозначения сквозного отверстия, как дырка в пончике: та, что проходит через весь объект и выходит с другой стороны».

Но если вы копаете «яму» на пляже, ваша цель, вероятно, не прорыть тоннель на другую сторону земного шара. Многие представляют себе дыру как углубление в твердом объекте. Но «это не настоящая дыра, так как у нее есть дно», — отметила Стеклз.

Точно так же Джеймс Артур, британский популяризатор математики, рассказал Live Science, что «в топологии «дыра» — это сквозное отверстие, то есть такое, в которое можно просунуть палец насквозь».

Когда инженеры прокладывали тоннель под Ла-Маншем, соединяющий Великобританию и Францию, они начали с рытья двух входов. Но как только эти две проходки соединились, тоннель превратился в принципиально иной объект (то, что Артур и инженеры назвали бы «сквозной дырой») — как соломинка или трубка с отверстиями с обоих концов.

И если спросить людей, сколько дырок у соломинки, вы получите целый спектр ответов: одна, две и даже ноль. Это результат нашего бытового понимания того, что такое дыра.

Чтобы найти последовательный ответ, можно обратиться к математике. И проблема классификации количества дыр в объекте лежит целиком в области топологии.

Для тополога конкретные формы объектов не важны. Вместо этого «топологию больше интересуют фундаментальные свойства форм и то, как вещи соединяются в пространстве», — сказала Стеклз.

В топологии объекты можно сгруппировать по количеству имеющихся у них дыр. Например, тополог не видит разницы между мячом для гольфа, бейсбольным мячом или даже фрисби. Если бы они все были сделаны из пластилина, их можно было бы теоретически сплющить, растянуть или иным образом преобразовать, чтобы они стали похожи друг на друга, не создавая и не закрывая дыр в пластилине и не склеивая разные части, утверждает Стеклз.

Однако для тополога эти объекты принципиально отличаются от бублика, пончика или баскетбольного кольца, у каждого из которых есть дырка посередине. Восьмерка с двумя дырками и крендель с тремя — снова другие топологические объекты.

Полезный способ понять ход мыслей математиков в отношении соломинки — «представить, что наша соломинка сделана из пластилина», — сказал Артур. — «Возьмем эту соломинку и медленно сплющим верхнюю часть, приближая ее ко дну, следя, чтобы отверстие в середине оставалось открытым. Мы сплющим ее до формы, похожей на пончик». Математики, сказал Артур, скажут, что «соломинка гомеоморфна пончику».

Длинная, тонкая форма соломинки и тот факт, что два отверстия относительно далеко друг от друга, — вот что, возможно, вызывает предположение о двух дырах. Но для тополога бублики, баскетбольные кольца и пончики топологически эквивалентны соломинке с одной дыркой. «Дырка в соломинке проходит через нее насквозь, а отверстие на другом конце — это просто обратная сторона той же самой дыры», — пояснила Стеклз.

Возвращаясь к человеческому телу

Вооружившись топологическим определением дыры, мы можем вернуться к исходному вопросу: сколько дыр в человеческом теле? Давайте сначала попробуем перечислить все наши отверстия. Очевидные — это, вероятно, рот, уретра (отверстие для мочеиспускания) и анус, а также отверстия ноздрей и ушей. У некоторых из нас также есть молочные протоки в сосках и влагалище.

Есть еще четыре менее очевидных отверстия, которые есть у всех во внутренних уголках глаз ближе к носу — это четыре слезные точки, которые отводят слезы из глаз в носовую полость. На еще более мелком уровне есть поры, которые позволяют поту выходить из тела, а кожному салу — смазывать кожу. В общей сложности в наших телах потенциально миллионы таких отверстий, но все ли они считаются дырами?

Чтобы вопрос стал интереснее, подумайте, сможем ли мы пропустить очень тонкую нить в одно отверстие и вывести ее из другого. Если мы установим размер этой нити около 60 микрон (60 миллионных метра), то теоретически нить может войти в отверстие размером с пору. Однако — и это ключевой момент — она не сможет выйти. Она не сможет выйти с другого конца. Ее заблокируют клетки на дне поры — она будет слишком толстой, чтобы пройти в кровеносные сосуды, питающие пору.

«Они на самом деле не являются дырами в топологическом смысле, так как не проходят насквозь, — сказала Стеклз. — Это просто слепые углубления».

По этому определению мы можем исключить все поры, молочные протоки и мочеиспускательный канал. Мы не смогли бы продеть нить в одно из этих отверстий и вывести ее из другого. Даже слуховые проходы не подходят, так как они отделены от остальных синусов барабанной перепонкой.

«У нас есть рот, наш анус и затем ноздри. Это четыре из… отверстий, образующих дыру, — сказал Артур. — Но на самом деле их восемь. Остальные четыре — это слезные канальцы, у каждого из нас их по два на каждый глаз, верхний и нижний».

Но это не означает восемь отдельных дыр. Стеклз отметила: «Когда дыры, проходящие через форму, соединяются внутри нее, становится сложнее подсчитать, сколько их».

Взгляд на нижнее белье

Например, у пары трусов есть три отверстия (одно для пояса и по одному для каждой ноги), но не сразу понятно, сколько дыр насчитал бы тополог. «Полезный трюк — представить, что мы его расплющиваем», — сказала Стеклз. — «Если бы мы растянули пояс трусов на большой обруч, мы бы увидели две штанины, торчащие вниз, каждая из которых представляет собой одну дыру».

Таким образом, несмотря на три отверстия, у пары трусов есть только две дыры. «Поэтому, когда дыры соединяются посередине, дыр на одну меньше, чем отверстий», — утверждает Стеклз. Соответственно, топология говорит нам, что, несмотря на восемь взаимосвязанных отверстий, человеческое тело имеет семь различных дыр.

Но, возможно, есть еще одна. Хотя влагалище часто считают слепым отверстием, оно ведет в матку, а оттуда — в одну из двух маточных труб. Эти трубы открыты на дальнем конце и ведут в брюшную полость вблизи яичника. Задача пальцевидных выростов воронкообразной фимбрии на конце маточной трубы — захватить яйцеклетку, когда она высвобождается из ближайшего яичника. Однако было продемонстрировано, что яйцеклетки, выпущенные из одного яичника, могут быть захвачены маточной трубой с другой стороны, так что проход между двумя открытыми концами маточных труб возможен. Таким образом, нашу крошечную нить можно было бы продеть через весь женский репродуктивный тракт и обратно, что считается еще одной дырой.

Итак, математический ответ таков: у людей либо семь, либо восемь дыр.

В конечном счете, вопрос не только в подсчете отверстий, но в понимании связей. Топологически говоря, наши тела менее похожи на швейцарский сыр и больше на тщательно сконструированный комбинезон для осьминога. Они представляют собой сложную сеть взаимосвязанных туннелей и камер, где внешние отверстия — лишь начало путешествия внутрь сложнейшей трехмерной структуры.

 Интересно, что с этой точки зрения такие отверстия, как рот и нос, ведущие в общую глотку, или слезные канальцы, соединяющие глаза с носом, заставляют нас думать о теле не как о наборе отдельных «труб», а как о единой, пронизанной каналами сфере, где внутреннее пространство топологически едино. Это подводит нас к другой захватывающей математической концепции — рода поверхности. Если очень упростить, род можно представить как количество «ручек» у объекта: чашка с одной ручкой имеет род 1 (как и тор-пончик), а сфера (как идеализированный мяч) — род 0. Так к какому же роду принадлежит наше тело с его системой сквозных и слепых ходов? Это уже тема для отдельного, еще более головоломного обсуждения.