Задача о «первом ходе»: как математики 15 лет искали идеальные кости и нашли их
Нужно было создать набор игральных костей, который справедливо определял бы первого игрока для любого числа участников. Решение нашлось в виде пяти 60-гранных костей с числами от 1 до 300. Теперь гигантские деревянные версии украшают математический корпус Обернского университета.
За ужином на игровой конвенции около 2010 года дизайнер настольных игр Джеймс Эрнест повернулся к своему другу Эрику Харшбаргеру и задал вопрос: можно ли создать набор костей так, чтобы каждый игрок в группе — будь то два человека или любое другое число — мог взять одну, бросить и иметь совершенно равные шансы ходить первым? Правило простое: бросьте свои кости, и тот, у кого выпадет наибольшее число, ходит первым. Сложность в том, чтобы сделать этот исход по-настоящему справедливым для каждого игрока, сколько бы их ни было за столом.
Ничьих и перебросов быть не должно.
Харшбаргер, математик из Обернского университета в Алабаме, в тот вечер ответа не дал. Но вопрос застрял в голове. В течение следующих 15 лет он вместе с неформальной сетью соавторов работал над тем, что стало известно как задача о костях для определения первого хода.
Теперь у них наконец есть ответ: набор из пяти 60-гранных костей, на которые в совокупности нанесены все числа от 1 до 300 без повторений. Чтобы отметить достижение, Харшбаргер построил пять гигантских деревянных копий этих гексаконтаэдров (60-гранных объемных фигур), каждая вырезанная из разного дерева. Теперь они выставлены на постоянной экспозиции в новом математическом корпусе Обернского университета.
Проблема с костями
Чтобы понять, почему задачу было так трудно решить, стоит разобраться в простой части.
«Легко избежать ничьих — достаточно нанести разные числа на все кости, — рассказал Харшбаргер Live Science. — Проблема в том, как распределить эти разные числа по костям так, чтобы вероятность была равной не только для всего набора, но и для любого подмножества».
Второе условие и делает задачу дьявольской. Эрнест просил не просто чтобы восемь игроков могли бросить честно; он хотел, чтобы любое подмножество игроков могло взять любые кости из мешка, бросить их и все равно получить равные шансы. Если играют пять человек — каждый берет кость. Трое? То же самое. Числа на каждой кости должны были быть расположены так, чтобы справедливость сохранялась независимо от того, сколько людей пришло играть.
Харшбаргер подключил своего друга детства Роберта Форда, математика из Далтонского государственного колледжа. В течение нескольких недель они нашли решение для трех игроков: числа от 1 до 18, распределенные по трем стандартным шестигранным костям в точно правильном порядке. Четыре 12-гранные кости, как позже выяснил Форд полностью вручную, могли честно обслужить четырех игроков.
К 2012 году Харшбаргер выступал с докладами о наборе для четырех игроков на математических конференциях, а The Guardian рассказала эту историю. Его почта взорвалась. Он начал продавать наборы ручной работы прямо из дома — закупал пустые 12-гранные кости, лазерным гравером наносил числа на каждую грань в своей мастерской, а затем вручную заполнял каждую цифру чернилами. На пике он отправлял по 30 конвертов на почту за раз, несколько раз в неделю, рассылая наборы клиентам по всему миру.
Но по мере углубления в математику команда обнаружила, что кости делают нечто еще более замечательное, чем они думали: конфигурации определяли не только первого игрока, но и весь порядок хода, причем каждая возможная последовательность игроков была равновероятной.
«Если бросали четверо, шанс, что игроки финишируют в порядке A, B, C, D, был так же вероятен, как C, B, D, A или любая из этих комбинаций, — сказал Харшбаргер. — «Кости для первого хода» — на самом деле неверное название, потому что они делают гораздо больше, чем просто определяют, кто ходит первым: они определяют порядок всех игроков».
Это свойство, которое команда назвала справедливостью перестановок, стало стандартом, к которому они стремились для каждого набора костей с этого момента.
Комбинаций больше, чем атомов во Вселенной
Четыре игрока — это одно. Пять — совсем другое.
Математически команда знала, что набор одинаковой формы для пяти игроков возможен. Но найти его означало перебрать непостижимо огромное пространство возможных расположений чисел.
«Речь буквально о числе комбинаций, превышающем количество атомов во Вселенной, — что-то порядка 10 в 128-й степени, — сказал Харшбаргер. — Это просто невозможно, даже если бы у нас был миллиард миллиардов лет и все компьютеры, весь ИИ. Мы и сегодня не смогли бы».
Пробиться к ответу перебором было нельзя. Нужны были математические сокращения: симметрии и закономерности, чтобы сжать пространство поиска. Но даже с ними годы прошли без практического решения. Каждый найденный путь упирался в одну и ту же стену: кости слишком большие, чтобы их держать, слишком много граней для производства.
«Моя цель — набор для пяти игроков, который можно реально изготовить, который можно держать в руке, который настольщики могли бы купить и бросать, — сказал Харшбаргер. — Даже для задачи, которая глупа и бессмысленна с точки зрения игрового процесса, — чисто математически, можно ли купить эти штуки и бросать их, и работают ли они? С 180-гранными костями это невозможно».
Затем, в середине 2023 года, канадский инженер-программист Пол Мейер написал Харшбаргеру неожиданно. Он изучал закономерности в данных Харшбаргера для четырех игроков и написал программу, чтобы их использовать. Он не ожидал, что она сработает сразу.
Она сработала. Мейер нашел конфигурацию из пяти 60-гранных костей, удовлетворяющую всем условиям.
«Я перепроверил его работу и воскликнул: «Боже мой, мы так долго это искали. Это потрясающе»», — сказал Харшбаргер.
Из мастерской — на галерейную стену
Набор для четырех игроков уже давно подхватили розничные продавцы — Maths Gear в Великобритании и Math Art Fun в США, — так что Харшбаргер перестал делать их вручную за несколько лет до этого. Теперь версия для пяти игроков стала реальной и достаточно маленькой для производства.
Но у истории был еще один поворот. Обернский университет строил новый корпус для своего математического факультета и искал скульптурные идеи. Харшбаргер предложил построить гигантские версии пяти новых костей из дерева. Факультет согласился.
Он провел месяцы в своей деревообрабатывающей мастерской, создавая пять огромных костей. Каждая сделана из разного дерева: сосна, тополь, дуб, орех или красное дерево. Пять скульптур теперь стоят в новом математическом корпусе Оберна, открывшемся этой осенью.
Для Харшбаргера весь смысл в том, чтобы сделать математику такой, мимо которой невозможно пройти.
«Когда люди видят гигантские кости или маленькие кости, их завораживает уже сама геометрия, — сказал он. — Надежда в том, что они увидят эти вещи и подумают: «О, это тоже математика, и это интересно». Некоторые из самых увлекательных математических задач — те, что легко понять и нелегко решить».
Красота в простоте: почему задача о костях притягивает
Задача о костях для первого хода идеально иллюстрирует разницу между простой формулировкой и сложным решением. Объяснить правила можно за минуту: бросай, у кого больше — тот первый, и никаких ничьих. Но за этой простотой — математическая бездна, на преодоление которой ушло 15 лет.
Число 10 в 128-й степени — настолько огромное, что человеческая интуиция пасует. Это больше, чем атомов в наблюдаемой Вселенной. Перебрать такое количество комбинаций невозможно в принципе. Победа пришла не благодаря грубой силе, а благодаря математической элегантности: закономерности и симметрии сузили поиск до реальных размеров.
История костей — еще и о том, как наука работает на практике. Неформальная сеть соавторов, письмо от незнакомца с программой, перепроверка — все это типичный путь современного открытия. Оно редко рождается в одиночестве.
Итог — не просто абстрактный результат, а физический объект: кости, которые можно купить, бросить и проверить. И гигантские деревянные скульптуры, превращающие математическое достижение в произведение искусства.
Источники: интервью Эрика Харшбаргера Live Science, материалы Обернского университета, публикации о задаче о костях.
